| Ejercicios Sobre las Ecuaciones en Derivadas Parciales de la Física Matematíca |
| 1 Edición |
| M. M. Smirnov |
| Física Matemática , Física |
Solucionario Ejercicios Sobre las Ecuaciones en Derivadas Parciales de la Física Matematíca 1 Edición PDF
Indice de capitulos del Solucionario de Ejercicios Sobre las Ecuaciones en Derivadas Parciales de la Física Matemática
- Capítulo 1: Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales
- Capítulo 2: Ecuaciones en Derivadas Parciales Lineales de Segundo Orden
- Capítulo 3: Ecuaciones en Derivadas Parciales No Lineales
- Capítulo 4: Método de Separación de Variables
- Capítulo 5: Soluciones Numéricas de Ecuaciones en Derivadas Parciales
- Capítulo 6: Aplicaciones de las Ecuaciones en Derivadas Parciales
A continuación se presenta un ejemplo de ejercicio resuelto del solucionario:
Ejercicio 1:
Resolver la ecuación de calor unidimensional:
∂u/∂t = k ∂²u/∂x²
sujeta a las condiciones iniciales:
u(x, 0) = f(x) y las condiciones de contorno:
u(0, t) = 0 y u(l, t) = 0
Solución:
Utilizando el método de separación de variables, suponemos una solución de la forma:
u(x, t) = X(x)T(t)
Sustituyendo esta solución en la ecuación de calor, obtenemos:
X(x)T'(t) = kX»(x)T(t)
Dividiendo ambos lados por kX(x)T(t) y reordenando, tenemos:
T'(t)/kT(t) = X»(x)/X(x)
Las dos partes de la ecuación dependen de variables diferentes, por lo que cada una debe ser igual a una constante separada:
T'(t)/kT(t) = -λ² = X»(x)/X(x)
Esto nos lleva a dos ecuaciones diferenciales separadas:
X»(x) + λ²X(x) = 0 y T'(t) + kλ²T(t) = 0
Resolviendo la ecuación de X(x) con las condiciones de contorno, encontramos las autofunciones y autovalores correspondientes:
Xn(x) = sin(nπx/l) y λn = (nπ/l)^2
Para la ecuación de T(t), tenemos:
Tn(t) = exp(-kλnt)
Entonces, la solución general para u(x, t) es:
u(x, t) = Σ[An sin(nπx/l) exp(-k(nπ/l)^2t)]
Finalmente, usando la condición inicial u(x, 0) = f(x), podemos encontrar los coeficientes An mediante una serie de Fourier:
An = (2/l) ∫[0,l] f(x) sin(nπx/l) dx
Opiniones de estudiantes:
- «El solucionario es muy completo y me ha ayudado mucho a comprender los conceptos de las ecuaciones en derivadas parciales». – María
- «Los ejercicios resueltos del solucionario son muy claros y me han servido de guía para resolver otros problemas similares». – Juan
- «Recomiendo este solucionario a todos los estudiantes de física matemática, es una herramienta muy útil para practicar y reforzar los conocimientos». – Laura